Помимо моих собственных записок, которые по мере готовности будут появляться ниже, я рекомендую следующие учебники:
- Э. Артин. Теория Галуа, М., МЦНМО, 2004. (есть в колхозе)
- Э. Б. Винберг. Курс алгебры, гл.10, М., «Факториал Пресс», 2001. (есть в колхозе).
- А. Л. Городенцев. Алгебра для студентов-математиков. Часть II. Гл. 15, 18, 19. М., МЦНМО, 2025
(или предварительная версия 2015 г).
- Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. Введение в современную теорию чисел, Ч. 2. Гл. 4. М., МЦНМО, 2009.
- J. S. Milne. Fields and Galois Theory, доступен на сайте автора.
Все имеющиеся на сегодняшний день конспекты лекций одним файлом:
PDF 411kb обновлён 1.11.2026.
- Тема 1.
Расширения коммутативных колец, примитивные расширения, свойства целых элементов. Примеры: целые элементы полей алгебраических чисел, лемма Гаусса-Кронекера-Дедекинда. Коммутативные алгебры над полем, алгебраические и транцендентные элементы, конечно порождённая алгебра над полем K является полем, только если она алгебраична над K. Конечные расширения полей, мультипликативность степени, конечно порождённая K-подалгебра в конечном расширении L поля K является полем, и его степень над K делит степень поля L над K. Базис трансцендентности, степень трансцендентности, пример: теорема Люрота.
Конспект:
PDF 114kb (обновлён 1.10.2026).
- Тема 2.
Башни примитивных расширений, пример: дискриминант и поле разложения кубического многочлена. Сепарабельные расширения, теорема о примитивном элементе. Продолжение вложения полей на алгебраические расширения, количество таких продолжений не превышает степени расширения, всякое тождественное на подполе K вложение алгебраического расширения L⊃K в себя биективно. Поле разложения многочлена и алгебраическое замыкание. Нормальные расширения, критерии нормальности. Композиты полей. Нормальное замыкание.
Конспект:
PDF 109kb (обновлён 1.10.2026).
- Тема 3.
Группы автоморфизмов поля над подполем и поля их инвариантов. Расширения Галуа и соответствие Галуа, примеры. Построения циркулем и линейкой, влияние побочных иррациональностей. Группы Галуа многочленов, примеры: классификация, автоморфизмы и вложения конечных полей; группы многочленов стпени ≤4. Резольвента Галуа. Анализ группы Галуа многочлена с целыми коэффициентами посредством его редукции по простому модулю.
Конспект:
PDF 137kb (обновлён 1.10.2026).
- Тема 4.
Группа Галуа кругового поля, элементы Фробениуса. Круговые поля Kp с простым p: квадратичное подполе, квадратичная взаимность, гауссова сумма, кольцо целых. Циклические расширения и уравнения xp=a, пример: формула Кардано. Разрешимые расширения и разрешимость полиномиальных уравнений в радикалах, пример: общее уравнение n-й степени и теорема Абеля.
Конспект:
PDF 121kb (обновлён 1.11.2026).
- Тема 5.
Теорема Крулля-Шмидта и теорема о нормальном базисе. Когомологии H0(G,A) и H1(G,A) группы G с коэффициентами в G-модуле A. Тривиальность первых когомологий группы Галуа конечного расширения Галуа F⊃K с коэффициентами в F и в F×, теорема 90 Гильберта. Изоморфизм Куммера, куммерово описание конечных абелевых расширений Галуа показателя n поля, содержащего корень n-й степени из единицы.
Конспект:
PDF 134kb (обновлён 1.11.2026).
делятся на «обязательные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи — дополнительные. Задачи можно решать в любом порядке в течение всего семестра, вплоть до начала зимней сессии. Решения задач необходимо записывать. Сдавать решённые задачи можно только специально авторизованным для этого преподавателям. Важное предупреждение: если количество желающих сдавать задачи будет слишком большим, то сдать больше 3-5 задач в неделю может оказаться невозможно в виду физического отсутствия времени у принимающих задачи. Это нормально, и претензии по этому поводу не рассматриваются. Поэтому я рекомендую сдавать 3-5 задач каждую неделю.
Выданные на текущий момент листки с задачами:
На итоговую отметку за этот курс влияют доли L и E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L) и на итоговом письменном экзамене (E), который состоится в зимнюю сессию после второго модуля. Обе доли вычисляются в процентах от общего числа заданных в каждом из видов обязательных задач по формуле:
100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(150,L+E)/15
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из двух видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 150 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
