Семинар «Основные понятия математики», 2025/26 уч.г.

(руководители Ю.М.Бурман, С.М.Львовский)

• [27 января, Ю.Б.] Как решать кубические уравнения?

  Для решения кубических уравнений существует формула, но в школе ее не изучают — мы поймем, почему. И что это вообще значит --- решить уравнение?

  Ответ на контрольный вопрос: да, сушествует: (x-1)³ = 3. Есть еще два комплексных корня вида 1 + ζ ∛ 3, где ζ = -(1/2) ± i√ 3/2 — комплексный кубический корень из 1 (любой из двух).

• [3 февраля, С.Л.] Многочлены Чебышёва.

  Как определить, насколько одна непрерывная функция отклоняется от другой, какие многочлены меньше всего отклоняются от нуля, и на сколько именно.

• [10 февраля, Ю.Б.] Прямые режут плоскость.

  n прямых на плоскости (среди которых нет параллельных и никакие три не проходят через одну точку) режут плоскость на части. Оказывается, что не менее (n-2) из этих частей — треугольники. Доказывается это методами линейной алгебры.

  Ответ на контрольный вопрос: максимальное число треугольных кусков T_n = O(n²) (поскольку общее число всевозможных кусков O(n²) — проверьте!), но не o(n²) — легко привести пример, где число растет квадратично. Но при этом T_n не пропорционально n². Поэтому правильный выбор — «здесь правильного ответа нет».

• [17 февраля, С.Л.] К теореме о простых числах.

  В теории чисел есть важный результат под названием «теорема о простых числах». Формулировка этой теоремы несложная (с нее мы и начнем), но ее доказательство, увы, не для этого семинара... Мы разберем некоторые результаты П.Л.Чебышёва (все того же), которые он получил через полвека после формулировки теоремы и за полвека до ее полного доказательства; это было первое содержательное продвижение в нужном направлении.

• [24 февраля, Ю.Б.] Теорема Эрроу о диктаторе

  Теорема, произведшая 75 лет назад сенсацию в социологии: система голосования по нескольким кандидатам, удовлетворяющая некоторым естественным требованиям, неизбежно оказывается диктатурой. Математически результат несложный, но при его доказательстве возникает важное понятие ультрафильтра, имеющее неожиданные применения.

• [3 марта, Ю.Б.] Ультрафильтры и нестандартный анализ.

  Несмотря на непохожее название, это продолжение предыдущей темы. Теорема Эрроу сводится к тому, что всякий ультрафильтр на конечном множестве — главный. На бесконечном множестве существуют неглавные ультрафильтры; рассмотрение такого ультрафильтра на множестве натуральных чисел позволяет построить модель множества действительных чисел с нестандартными свойствами.

  Контрольный вопрос был, увы, сформулирован неправильно; вот правильная формулировка. Предположим, что нестандартный аналог *A множества A действительных чисел обладает таким свойством: если для стандартного числа c сушествует бесконечно малое число x (естественно, нестандартное) такое, что c+x принадлежит *A, то само c тоже принадлежит *A (и, следовательно, принадлежит A). Каким свойством (хорошо известным из курса анализа) обладает A?

  Ответ: множество A замкнуто.

• [10 и 17 марта, С.Л.] Равносоставленность в пространстве.

  Согласно теореме Бойяи–Гервина, если два многоугольника равновелики (т.е. их площади равны), то они и равносоставлены (т.е. каждый из них можно разрезать на конечное число частей, из которых потом сложить второй). Останется ли это утверждение верным, если заменить в нем слово «многоугольник» на «многогранник»? (в трехмерном пространстве; соответственно, «площадь» заменим на «объем») Оказывается, ответ на этот вопрос сильно зависит от того, как мы трактуем понятие «разрезание на части». В этом докладе мы будем придерживаться строгой, «теоретико-множественной» трактовки; результат получается весьма неожиданным...

• [24 марта] занятия не будет — мы решили, что уже сессия... 31 марта тоже не будет — на самом деле сессия.

• [7 и 14 апреля, Ю.Б.] Причесывание ежа и основная теорема алгебры.

  С доказательством!

• [21 и 28 апреля, С.Л.] Инвариант Дэна

  Как мы убедились, если разрешить разрезать на любые (непересекающиеся) множества то любые два многогранника, хоть бы и разных объемов, будут равносоставлены. Оказывается, что если разрезание понимать в школьном смысле (разрезаем на многогранники, которые могут иметь общие грани, ребра или вершины), то, напротив, даже многогранники с равным объемом не обязательно равносоставлены!

• [5 мая] выходной.

• [12 мая, Ю.Б.] Лемма Шпернера.

  Комбинаторно-геометрическое утверждение (про раскраску треугольников и их многомерных аналогов). Его следствием, в частности, является теорема Брауэра о неподвижной точке — на этот раз многомерная!

• [19 мая, Ю.Б.] Теорема Монски.

  Квадрат невозможно разрезать на нечетное количество треугольников одинаковой площади. Для доказательства этого элементарного с виду утверждения нам потребуются ультраметрическое (2-адическое) нормирование в поле Q, теорема Крулля о продолжении нормирования, а также — еще раз! — лемма Шпернера (слегка модифицированная).

• [26 мая, 2 июня, С.Л.] Квадратичный закон взаимности.

  Пусть p — простое число и мы интересуемся, какие остатки a при делении на p может иметь квадрат целого числа. Если зафиксировать p и искать подходящие a, то никакого четкого правила не видно. А вот если зафиксировать a и смотреть, какие p подходят, то становится видна красивая закономерность, которую можно не менее красиво обосновать.