Семинар «Основные понятия математики», 2025/26 уч.г.

(руководители Ю.М.Бурман, С.М.Львовский)

• [27 января, Ю.Б.] Как решать кубические уравнения?

  Для решения кубических уравнений существует формула, но в школе ее не изучают — мы поймем, почему. И что это вообще значит --- решить уравнение?

  Ответ на контрольный вопрос: да, сушествует: (x-1)³ = 3. Есть еще два комплексных корня вида 1 + ζ ∛ 3, где ζ = -(1/2) ± i√ 3/2 — комплексный кубический корень из 1 (любой из двух).

• [3 февраля, С.Л.] Многочлены Чебышёва.

  Как определить, насколько одна непрерывная функция отклоняется от другой, какие многочлены меньше всего отклоняются от нуля, и на сколько именно.

• [10 февраля, Ю.Б.] Прямые режут плоскость.

  n прямых на плоскости (среди которых нет параллельных и никакие три не проходят через одну точку) режут плоскость на части. Оказывается, что не менее (n-2) из этих частей — треугольники. Доказывается это методами линейной алгебры.

  Ответ на контрольный вопрос: максимальное число треугольных кусков T_n = O(n²) (поскольку общее число всевозможных кусков O(n²) — проверьте!), но не o(n²) — легко привести пример, где число растет квадратично. Но при этом T_n не пропорционально n². Поэтому правильный выбор — «здесь правильного ответа нет».

• [17 февраля, С.Л.] К теореме о простых числах.

  В теории чисел есть важный результат под названием «теорема о простых числах». Формулировка этой теоремы несложная (с нее мы и начнем), но ее доказательство, увы, не для этого семинара... Мы разберем некоторые результаты П.Л.Чебышёва (все того же), которые он получил через полвека после формулировки теоремы и за полвека до ее полного доказательства; это было первое содержательное продвижение в нужном направлении.